Author: David COUDERT

• Marthe Bonamy, CRCN CNRS, LaBRI, Bordeaux, France
• Louis Esperet (referee), DR CNRS, INP Grenoble, France
• Ararat Harutyunyan, MCF, Université Paris-Dauphine, France
• Alexander Scott (referee), Professor, University of Oxford, UK
• Stéphan Thomassé, Professor, ENS Lyon, France
• Anders Yeo (referee), Professor, University of Southern Denmark
• Frédéric Havet (supervisor), DR CNRS, COATI, France
• Stéphane Bessy (co-supervisor), Professor, LIRMM, University of Montpellier, France

Abstract: This thesis focuses on a notion of colouring of digraphs introduced by Erdös and Neumann-Lara in the late 1970s, namely the dicolouring, and its associated digraph parameter: the dichromatic number. It appears in the last decades that many classical results on graph colouring have directed counterparts using these notions.
We first give a collection of bounds on the dichromatic number of digraphs for which the underlying graph is chordal. We then introduce a notion of variable degeneracy for digraphs which leads to a more general version of Brooks Theorem. We also strengthen this theorem on a large class of digraphs which contains digraphs without antiparallel arcs.
Next we prove a collection of results on $k$-dicritical digraphs, the digraphs that are minimal obstructions for the $(k-1)$-dicolourability. We first generalise a result of Gallai to the directed case, and then prove a conjecture of Kostochka and Stiebitz in the particular case $k=4$. We also discuss the maximum density of such digraphs and prove that the number of $3$-dicritical semi-complete digraphs is finite. We then give a collection of results on the substructures in large dicritical digraphs.
We finally study the notion of redicolouring for digraphs. In particular, we prove that a large collection of evidences for Cereceda’s conjecture admit a directed counterpart.

Résumé: Cette thèse est dédiée à l’étude de la dicoloration, une notion de coloration pour les digraphes introduite par Erdös et Neumann-Lara à la fin des années 1970, ainsi que le paramètre qui lui est associé, à savoir le nombre dichromatique. Lors des dernières décennies, ces deux notions ont permis de généraliser de nombreux résultats classiques de coloration de graphes.
Nous commençons par donner différentes bornes sur le nombre dichromatique des digraphes dont le graphe sous-jacent est un graphe cordal. Ensuite, nous améliorons la borne donnée par le théorème de Brooks pour les digraphes sans arcs antiparallèles et introduisons une notion de dégénérescence variable pour les digraphes, ce qui nous permet de prouver une version plus générale du théorème de Brooks.
Nous étudions ensuite les digraphes $k$-dicritiques, c’est-à-dire les obstructions minimales à la $(k-1)$-dicolorabilité. En particulier, nous généralisons un résultat de Gallai au cas dirigé, et nous prouvons une conjecture de Kostochka et Stiebitz dans le cas particulier $k=4$. Nous discutons également la densité maximum de tels digraphes, et prouvons qu’il n’y a qu’un nombre fini de digraphes semi-complets $3$-dicritiques. On donne par la suite certains résultats structurels sur les digraphes dicritiques de grand ordre.
Enfin, nous étudions la notion de redicoloration pour les digraphes. En particulier, nous prouvons que de nombreux résultats soutenant la conjecture de Cereceda se généralisent au cas dirigé.

• André-Luc Beylot (referee), Toulouse INP ENSEEIHT, France
• Walid Dabbous, Inria, France
• Andrzej Duda, Grenoble INP Ensimag, France
• Isabelle Guérin-Lassous (referee), Université Lyon 1, France
• Samer Lahoud (referee), Dalhousie University, Canada
• Hervé Rivano, INSA Lyon, France
• Catherine Rosenberg, University of Waterloo, Canada

Résumé: Ce document retrace mes travaux sur la modélisation et l’optimisation des réseaux sans fil. J’applique des méthodes d’optimisation, principalement la programmation linéaire, pour calculer des solutions optimales et analyser leurs structures afin d’appliquer des techniques comme la génération de colonnes, ou évaluer des solutions approchées permettant de passer à l’échelle.
La première partie porte sur l’utilisation de drones afin de couvrir ou recharger des capteurs fixes ou mobiles. Les modèles optimisent le nombre de drones nécessaires ou calculent les trajectoires optimales. Les résultats mettent en évidence les compromis entre la distance parcourue en vol, l’énergie dépensée par les drones, et l’altitude impactant la qualité de couverture et de recharge.
La deuxième partie s’intéresse à la capacité des réseaux LoRaWAN en terme de nombre de nœuds tout en garantissant un taux de livraison des transmissions. J’optimise l’allocation des facteurs d’étalement et l’ordonnancement des transmissions dans des réseaux synchronisés tout en respectant les contraintes règlementaires d’utilisation de la bande de fréquence. Les résultats montrent l’intérêt du contrôle de puissance et de la répétition des envois de paquets.
Je conclus sur des perspectives autour de la dynamique des réseaux aériens, des nouvelles technologies pour les réseaux LPWAN, et des réseaux du futur virtualisés.

• Leszek GASIENIEC (referee), University of Liverpool, UK
• David PELEG (referee), Weizmann Institute of Science, Israel
• Christian SCHEIDELER (referee), University of Paderborn, Germany
• Pierluigi CRESCENZI Gran Sasso Science Institute, Italie
• Giovanni NEGLIA, Inria, France
• Laurent Viennot, Inria, Paris

Résumé: Cette présentation se concentre sur l’intersection du problème du sous-ensemble sléatoire (RSSP) et de ses applications novatrices au sein des réseaux de neurones artificiels (ANNs). Après un voyage rétrospectif qui couvre une décennie de recherche, l’exposé touche non seulement dans les contributions de l’auteur à la science informatique théorique, y compris les problèmes de consensus sous communication stochastique dans les systèmes multi-agents, mais s’aventure également dans les domaines de la modélisation d’évaluation intégrée et des explorations en neurosciences computationnelles. En synthétisant des intérêts de recherche allant de l’analyse stochastique des algorithmes distribués au développement d’algorithmes de pruning pour les ANNs, l’exposé vise à partager les contributions de l’auteur à la science informatique théorique et au-delà, en esquissant des orientations de recherche futures à l’intersection de l’informatique et d’autres sciences appliquées.

• Christophe Crespelle, Professor, Université Côte d’Azur, I3S, CNRS, France.
• Guillaume Ducoffe, Associate Professor, Faculty of Mathematics and Informatics, University of Bucharest, Romania.
• Arnaud Malapert, Maître de conférences, Université Côte d’Azur, I3S, CNRS, France.
• Cyril Gavoille (reviewer), Professor, LaBRI, Université de Bordeaux, France.
• Dimitrios M. Thilikos (reviewer), Directeur de recherche, LIRMM, Université de Montpellier, CNRS, Montpellier, France.
• Nicolas Nisse (supervisor), Chargé de recherche, Inria, Université Côte d’Azur, CNRS, I3S, Sophia-Antipolis, France.

Abstract: Graph decompositions are a powerful tool aimed to divide a graph into several parts, called bags, connected in a tree-like or a path-like fashion, depending on whether we consider a tree-decomposition or a path-decomposition. They can be used to solve some NP-hard problems in linear time, as long as the maximum size of the bags (i.e. the width) is bounded. This has motivated the study of treewidth (minimum width out of all tree-decompositions of a graph) over the past 30 years. Nevertheless, there are still a lot of open questions, such as the computational complexity of treewidth in planar graphs. To answer this question, it could be interesting to study the length of these decompositions. This measure corresponds to the maximum diameter among the bags of a decomposition, and it was shown that there is a relationship between treelength and treewidth in planar graphs.

In chapter 2, we study the treelength of several simple classes of planar graphs, such as series-parallel graphs. We give an infinite list of forbidden isometric subgraphs for series-parallel graphs of treelength 2. This list is then used to decide in polynomial time if a series-parallel graph has treelength at most 2 and, in case of a positive answer, to output a decomposition of length at most 2.

In chapter 3, we focus on the pathlength, and we give a characterization for trees and cycles. We also study the pathlength of outerplanar graphs for which we design an approximation algorithm with additive ratio 1.

Finally, in chapter 4, we study the Hunters and Rabbit game, an algorithmic variant of path-decomposition defined as a pursuit-evasion game. In this game, a group of hunters hunts an invisible rabbit which is forced to move to a neighboring position at every step. We are interested in the minimum number h(G) of hunters needed to catch the rabbit, independently of its moves along a graph G. This game has already been studied for some bipartite graphs (meshes, trees, hypercubes…). However, it remains open questions in a lot of graph classes, notably in trees. A very useful notion for the computation of strategies in pursuit-evasion games is the notion of monotonicity. We define a monotone variant of the Hunters and Rabbit game, for which we prove that the minimum number mh(G) of hunters differs by at most one from the pathwidth. This has important consequences, such as the fact that computing mh(G) is NP-hard. We also characterize mh(G) for several graph classes, such as split graphs, interval graphs, trees, and cographs. For these classes, we study the difference between mh and h and, in particular, we show that it is arbitrarily large in trees.

Résumé: Les décompositions de graphes sont un outil permettant de représenter un graphe en plusieurs parties, appelées sacs, et structurées comme un arbre ou un chemin suivant si ce sont des décompositions arborescentes ou linéaires. Ces décompositions permettent de résoudre certains problèmes NP-difficiles en temps linéaire, si la taille maximum des sacs (i.e. la « largeur/width ») est bornée. Cela a motivé les travaux de ces 30 dernières années sur la largeur arborescente d’un graphe G (la plus petite largeur des décompositions arborescente de G). Cependant, il reste encore beaucoup de questions ouvertes comme la complexité du calcul de la largeur arborescente des graphes planaires. Pour pouvoir répondre à cette question, il peut être intéressant d’étudier une autre mesure des décompositions, la longueur. Cette mesure correspond au diamètre maximum des sacs d’une décomposition, et il a été prouvé qu’il existe une relation entre la longueur arborescente et la largeur arborescente dans les graphes planaires.

Nous nous intéressons donc dans le chapitre 2 à la longueur arborescente de classes de graphes planaires simples, comme les graphes série-parallèles. Nous explicitons une liste infinie de sous-graphes isométriques interdits pour les graphes série-parallèles de longueur arborescente 2. Grâce à cette liste, il est alors possible en temps polynomial de tester si un graphe série-parallèle a une longueur arborescente au plus 2 et, dans le cas d’une réponse positive, de calculer une décomposition arborescente optimale.

Nous nous intéressons aussi au cas de la longueur linéaire dans le chapitre 3. Nous nous focalisons sur les classes des arbres et des cycles pour lesquelles nous caractérisons la longueur linéaire. Nous nous intéressons aussi à la longueur linéaire des graphes planaires extérieurs et concevons un algorithme d’approximation de rapport additif 1.

Finalement, dans le chapitre 4, nous nous intéressons à une variante algorithmique des décompositions linéaires des graphes, par le biais d’un jeu de poursuite-évasion, le jeu des Chasseurs et du Lapin. Dans ce jeu, un groupe de chasseurs traque un lapin invisible qui est forcé de bouger à chaque étape sur une position voisine. Nous nous intéressons au nombre minimum h(G) de chasseurs qui peuvent attraper le lapin quoi qu’il fasse sur un graphe G. Ce jeu a notamment été étudié dans le cas des graphes bipartis (grilles, arbres, hypercubes…) mais reste ouvert dans beaucoup de classes de graphes et notamment dans les arbres. Une notion très utile pour le calcul de stratégie dans les jeux de poursuite-évasion est la notion de monotonie. Nous définissons une variante monotone du jeu des chasseurs et du lapin, nous permettant entre autres, de prouver que, dans cette variante, le nombre minimum mh(G) de chasseurs diffère d’au plus un de la largeur linéaire du graphe G. Ce résultat a d’importantes conséquences, comme le fait que le calcul de mh(G) est NP-difficile. Nous caractérisons aussi mh(G) pour plusieurs classes de graphes, comme les graphes scindés, les graphes d’intervalles, les arbres et les cographes. Nous étudions la différence entre mh et h dans ces classes de graphes et, en particulier, nous montrons qu’il peut exister une différence arbitrairement grande entre mh et h dans les arbres.

• Emmanuel Chaput (reviewer), Professor, INP Toulouse, France.
• Enrico Natalizio (reviewer), Professor, LORIA, Université de Lorraine, Nancy, France.
• Hervé Rivano, Professor, INSA, Lyon, France.
• Yann Busnel, Professor, IMT Nord Europe, Lille, France.
• David Coudert, Directeur de Recherche, Centre Inria d’Université Côte d’Azur, France.
• Christelle Caillouet, Assistant Professor, Université Côte d’Azur, France.

Abstract: Unmanned Aerial Vehicles (UAVs) have gained tremendous attention lately. These autonomous flying devices have several advantages in terms of deployment cost and processing capabilities, making them a promising solution for a wide range of military and commercial applications. In this thesis, we have studied two applications: creating a flying network to connect mobile sensors to a base station and wirelessly charging fixed ground sensors.

In the first application, we want to communicate with mobile sensors in a disaster scenario without pre-existing communication infrastructure. Our goal in this application is to determine the optimal flight plans for the UAVs. The UAVs must maintain a connected path between the base station and the sensors to allow the sensors to send critical information when necessary. We optimise the UAVs’ total distance travelled and energy consumed.

The second application has a set of fixed ground sensors we need to recharge. Equipping the UAVs and sensors with power harvesting technology allows us to recharge these sensors wirelessly. We proposed a 2 step solution where first, a linear program finds where each drone needs to go and how long it should stay there to ensure the sensors get enough power. Then, greedy scheduling algorithms determine the order in which UAVs visit these spots, ensuring they do not get in each other’s way or reduce the charging efficiency. We minimise the total time to charge all sensors in both steps.

Résumé: Les véhicules aériens sans pilote (UAV) ont suscité une attention considérable récemment. Ces appareils volants autonomes présentent plusieurs avantages en termes de coûts de déploiement et de capacités de traitement, ce qui en fait une solution prometteuse pour un large éventail d’applications militaires et commerciales. Dans cette thèse, nous avons étudié deux applications : la création d’un réseau aérien pour connecter des capteurs mobiles à une station de base et la recharge sans fil de capteurs fixes au sol.

Dans la première application, nous voulons communiquer avec des capteurs mobiles dans un scénario de catastrophe sans infrastructure de communication préexistante. Notre objectif dans cette application est de déterminer les meilleurs plans de vol pour les UAVs. Les UAVs doivent maintenir un chemin connecté entre la station de base et les capteurs pour permettre aux capteurs d’envoyer des informations critiques si nécessaire. Nous optimisons la distance totale parcourue par les UAVs et l’énergie consommée.

La deuxième application concerne un ensemble de capteurs au sol fixes que nous devons recharger. La technologie de récupération d’énergie, basée sur l’échange de signaux radio-fréquence, permettant de recharger les batteries des capteurs sans fil. Nous avons proposé une solution en 2 étapes où d’abord, un programme linéaire détermine où chaque drone doit aller et combien de temps il doit y rester pour s’assurer que les capteurs reçoivent suffisamment d’énergie. Ensuite, des algorithmes gloutons d’ordonnancement déterminent l’ordre dans lequel les UAVs visitent ces points, en veillant à ce qu’ils ne se gênent pas mutuellement ou ne réduisent pas l’efficacité de la charge. Nous minimisons le temps total nécessaire pour recharger tous les capteurs dans les deux étapes.

• Emanuele NATALE (Thesis director), Chargé de Recherche, CNRS, COATI, France.
• Vincent GRIPON (Reviewer), IMT-Atlantique, France.
• Marc LELARGE (Reviewer), Directeur de recherche, Inria, Paris, France.
• Konstantin AVRACHENKOV, Directeur de recherche, Inria, Sophia Antipolis, France.
• Pierluigi CRESCENZI, Professeur, Gran Sasso Science Institute, L’Aquila, Italy.
• Frédéric GIROIRE, Directeur de recherche, CNRS. COATI, Sophia Antipolis, France.
• Laurent VIENNOT (Invited), Directeur de recherche, Inria, Paris, France.

Abstract: The Strong Lottery Ticket Hypothesis (SLTH) states that neural networks contain, at random initialisation, sub-networks that perform well without any training. The random network needs, however, to be over-parameterized: to have more parameters than it would otherwise need.

The SLTH was first proved for fully-connected networks and assumed polynomial over-parameterization. Soon after, this was improved to only require a logarithmic overhead, which is essentially optimal. This strong result leveraged a theorem on the Subset Sum Problem (SSP). It considers a randomised version of the SSP in which one seeks to approximate a target value by summing subsets of a given random sample. The theorem asserts that ensuring the existence of a solution with high probability only requires a logarithmic sample size relative to the precision of the approximations. We present a simpler, more direct proof for this result.

Then, leveraging the theorem on the SSP, we extend the SLTH to Convolutional Neural Networks (CNNs): we show that random CNNs contain sparse sub-CNNs that do not require training to achieve good performance. We also obtained the result assuming a logarithmic over-parameterization.

Even though the overhead imposed by the SLTH could be offset by the sparsity of the sub-networks obtained, exploiting sparsity in practice is very difficult if it is not structured. Extending the results on the SLTH to produce structured sub-networks would require a multidimensional version of the theorem on SSP. We prove such a version and use it to show that the SLTH still holds for CNNs if we require the sub-networks to be structured.

Finally, we propose an application of the ideas in this thesis to the design of circuits: We harness the inherent randomness in the specs of integrated electronic components to obtain highly accurate programmable components from low-precision static ones.

Résumé: La Strong Lottery Ticket Hypothesis (SLTH) stipule que les réseaux de neurones contiennent, lors de l’initialisation aléatoire, des sous-réseaux qui fonctionnent bien sans aucun entraînement. Le réseau aléatoire doit cependant être sur-paramétré : avoir plus de paramètres qu’il n’en aurait besoin.

La SLTH a d’abord été prouvée pour les réseaux entièrement connectés et suppose une sur-paramétrisation polynomiale. Puis, cela a été amélioré pour ne nécessiter qu’un surplus logarithmique, ce qui est essentiellement optimal. Ce fort résultat a tiré parti d’un beau théorème sur le Subset Sum Problem (SSP). Il considère une version aléatoire du SSP dans laquelle on cherche à approximer une valeur cible en sommant des sous-ensembles d’un échantillon aléatoire donné. Le théorème affirme que garantir l’existence d’une solution avec une haute probabilité ne nécessite qu’une taille d’échantillon logarithmique par rapport à la précision des approximations. Nous présentons une preuve plus simple et plus directe pour ce résultat.

Ensuite, en tirant parti du théorème sur le SSP, nous étendons le SLTH aux Convolutional Neural Networks (CNNs) : nous montrons que les CNN aléatoires contiennent des sous-CNN clairsemés qui n’ont pas besoin d’entraînement pour obtenir de bonnes performances. Nous avons également obtenu le résultat en supposant une sur-paramétrisation logarithmique.

Bien que le surplus imposé par le SLTH puisse être compensé par la rareté des sous-réseaux obtenus, exploiter la rareté en pratique est très difficile si elle n’est pas structurée. Étendre les résultats sur le SLTH pour produire des sous-réseaux structurés nécessiterait une version multidimensionnelle du théorème sur le SSP. Nous prouvons la véracité d’une telle version et nous l’utilisons pour montrer que le SLTH est toujours valable pour les CNN si nous exigeons que les sous-réseaux soient structurés.

Enfin, nous proposons une application des idées de cette thèse à la conception de circuits : nous exploitons l’aléatoire inhérent aux spécifications des composants électroniques intégrés pour obtenir des composants programmables hautement précis à partir de composants statiques de faible précision.