4-5 avril – Claude Lobry : Mathématiques Radicalement Élémentaires
Mathématiques Radicalement Élémentaires Claude Lobry Leçon 1 (jeudi 4 avril, 10h30-12h, Simone Iff A415, inscription) Dans un premier temps (env. 1h) j’expose le système axiomatique I.S.T. proposé par Nelson en 1977 ; dans ce système les expressions x est infiniment grand, (infiniment petit), ont un sens mathématique (formel) précis et se manipulent comme le commande le sens intuitif des expressions en caractères gras. Le plan de cette partie est : Axiomatique Idéalisation Standardisation Transfert Premières applications : Une alternative aux fonctions de variables réelles : les pointillés. Le théorème d’existence des solutions d’une équation différentielle. Consistance relative de I.S.T. à Z.F.C. Ce travail (un peu formel) nous a permis de nous familiariser avec les concepts. À ce moment un peu d’histoire est utile. J’expliquerai comment les « infinitésimaux » de Leibniz, encore défendus par Lazare Carnot autour de 1800 ont été chassés (au nom de la rigueur) au cours du XIXe au profit de l’epsilontique (∀ε∃η···) codifiée plus tard (début du XXe siècle) dans le formalisme Z.F.C. au point que vers 1960 l’idéologie dominante chez les mathématiciens est que « mathématiques rigoureuses » = « qui se formalise dans Z.F.C. » On en déduit (de manière erronée) qu’il ne peut pas exister de mathématiques rigoureuses utilisant les infinitésimaux. Le dogme est remis en question autour de 1960 par Robinson qui propose l’analyse non standard (ANS) dans une version formalisée dans Z.F.C. L’ANS est alors conçue comme une technique de démonstration (éventuellement plus simple) d’énoncés traditionnels. Leçons 2 et 3 (vendredi 5 avril, 10h30-12h, 14h-15h30, Simone Iff A415, inscription) Dans les années 1980 Nelson et Reeb proposent un programme de recherche qui consiste à ne pas traduire dans le langage traditionnel les énoncés obtenus via l’ANS. C’est ce que j’appelle les mathématiques radicalement élémentaires. Avant de commenter ce programme je propose…
