Mathématiques Radicalement Élémentaires
Claude Lobry
Leçon 1 (jeudi 4 avril, 10h30-12h, Simone Iff A415, inscription)
Dans un premier temps (env. 1h) j’expose le système axiomatique I.S.T. proposé par Nelson en 1977 ; dans ce système les expressions x est infiniment grand, (infiniment petit), ont un sens mathématique (formel) précis et se manipulent comme le commande le sens intuitif des expressions en caractères gras. Le plan de cette partie est :
- Axiomatique
- Idéalisation
- Standardisation
- Transfert
- Premières applications :
- Une alternative aux fonctions de variables réelles : les pointillés.
- Le théorème d’existence des solutions d’une équation différentielle.
- Consistance relative de I.S.T. à Z.F.C.
Ce travail (un peu formel) nous a permis de nous familiariser avec les concepts. À ce moment un peu d’histoire est utile. J’expliquerai comment les « infinitésimaux » de Leibniz, encore défendus par Lazare Carnot autour de 1800 ont été chassés (au nom de la rigueur) au cours du XIXe au profit de l’epsilontique (∀ε∃η···) codifiée plus tard (début du XXe siècle) dans le formalisme Z.F.C. au point que vers 1960 l’idéologie dominante chez les mathématiciens est que « mathématiques rigoureuses » = « qui se formalise dans Z.F.C. » On en déduit (de manière erronée) qu’il ne peut pas exister de mathématiques rigoureuses utilisant les infinitésimaux. Le dogme est remis en question autour de 1960 par Robinson qui propose l’analyse non standard (ANS) dans une version formalisée dans Z.F.C. L’ANS est alors conçue comme une technique de démonstration (éventuellement plus simple) d’énoncés traditionnels.
Leçons 2 et 3 (vendredi 5 avril, 10h30-12h, 14h-15h30, Simone Iff A415, inscription)
Dans les années 1980 Nelson et Reeb proposent un programme de recherche qui consiste à ne pas traduire dans le langage traditionnel les énoncés obtenus via l’ANS. C’est ce que j’appelle les mathématiques radicalement élémentaires. Avant de commenter ce programme je propose quelques exemples en allant (dans certains cas) jusqu’au bout des détails techniques :
- L’équation des cordes vibrantes (des ondes), en détail.
- Le mouvement Brownien vu comme une marche aléatoire discrète, en détail
- Les équations différentielles non standard, survol.
- Equations à second membres discontinus, survol.
- Perturbations singulières et « canards », survol.
- Grands systèmes, survol.
Ces exemples montreront que les modélisations « radicalement élémentaires » peuvent être spectaculairement plus simples et parlantes que leurs équivalentes traditionnelles. La question est : a-t-on perdu quelque chose ? J’espère convaincre que non.
Leçon 4 (jeudi 4 avril, 14h-15h30, Simone Iff A415, inscription)
Ce n’est pas vraiment une leçon car je vais parler de choses que je ne connais pas. On constate, au XXIe siècle, des liens de plus en plus forts et inattendus entre des courants scientifiques (en logique, en informatique, en automatique, en mathématiques…) qui se constituent dans la seconde moitié du XXe siècle :
- Mathématiques constructives (Brouwer →).
- Théorie intuitionniste des types (Martin Löf).
- Théorie des catégories (Grothendieck, Lawvere).
- Proramme Hott (Voedvodsky).
Quelle est la place des mathématiques radicalement élémentaires dans ce mouvement ?
