Daniel Zegarra Vasquez: Thursday, 15th May 2025 at 10:30
Abstract:
Cette présentation est une répétition en vue de la soutenance de ma thèse qui aura lieu le mardi 27 mai 2025.
Cette thèse porte sur les écoulements monophasiques dans des milieux poreux souterrains tridimensionnels, caractérisés par des fractures, des discontinuités étroites omniprésentes dans la matrice rocheuse. Dans ce travail, les fractures sont spécifiquement considérées comme des conduits privilégiés pour l’écoulement et sont modélisées via l’approche “Discrete Fracture Matrix” (DFM). Ce modèle conserve la tridimensionnalité de la matrice rocheuse et traite le réseau de fractures comme un objet de codimension un. L’écoulement est régi par des équations aux dérivées partielles (EDPs) de type Darcy couplées, assurant les échanges entre roche et fractures. Alors que la littérature se limite à des DFMs avec quelques milliers de fractures, cette thèse traite des modèles en comptant jusqu’à plusieurs centaines de milliers.
L’objectif de ce travail est de concevoir, implémenter et analyser une méthode de simulation adaptée à ces DFMs. Le défi principal réside dans la résolution efficace des systèmes linéaires issus de la discrétisation des EDPs, pouvant atteindre plusieurs centaines de millions de degrés de liberté (DDL).
Le chapitre [1] traite de l’analyse mathématique et numérique du système d’EDPs. Il fournit le cadre fonctionnel de la formulation variationnelle mixte et prouve l’existence et l’unicité de la solution. Les éléments finis mixtes sont utilisés pour poser le problème discret, pour lequel l’existence et l’unicité sont démontrées. Des estimations d’erreur a priori sont également établies. La formulation mixte-hybride équivalente (EFMH) conduit à un système linéaire creux, carré, symétrique et défini positif. La convergence numérique d’ordre 1 du schéma EFMH est validée par un test académique avec solution analytique.
Le chapitre [2] propose une méthodologie pour évaluer les performances des solveurs linéaires appliqués au système issu de la discrétisation EFMH du chapitre [1]. Les réseaux fracturés étudiés sont de grande taille, avec plusieurs dizaines de milliers de fractures. L’augmentation du nombre de fractures entraîne un mauvais conditionnement des systèmes linéaires, aggravé par les contrastes de conductivité hydraulique. Les solveurs directs sont inexploitables en raison de leur consommation excessive de RAM. Le Gradient Conjugué (GC) préconditionné par des méthodes multi-grille algébrique réduit cette consommation, mais les cas les plus complexes nécessitent plusieurs jours de calcul et des centaines de milliers d’itérations, parfois sans convergence. Cela souligne le besoin d’un préconditionneur plus robuste. Enfin, ce chapitre met en évidence que les méthodes itératives exigent des tolérances strictes, sous peine d’obtenir des solutions non physiques.
Le chapitre [3] relève le défi initial grâce à une méthode de décomposition de domaine de type Schwarz à deux niveaux, dont le niveau grossier est construit avec la méthode spectrale GenEO (“Generalized Eigenvalue problem on the Overlap”), implémentée dans la librairie HPDDM. GenEO garantit une borne sur le conditionnement de l’opérateur préconditionné et donc sur le nombre d’itérations de Krylov. Ce chapitre montre l’applicabilité de HPDDM GenEO au problème d’écoulement étudié. Il décrit, pour les DFMs, un algorithme de partitionnement adapté à la nature 2D/3D du domaine et à la construction des matrices de Neumann requises. Les réseaux fracturés de ce chapitre atteignent plusieurs centaines de milliers de fractures. La méthodologie du chapitre [2] est réutilisée pour évaluer CG et GMRES préconditionnés avec HPDDM GenEO, qui surpasse nettement les performances précédentes. Même avec de forts contrastes de conductivité hydraulique, la méthode itérative préconditionnée avec HPDDM GenEO converge en moins de 6 minutes et 51 itérations pour le plus grand DFM (697k fractures, 243M DDL) sur 6825 processus MPI.
[1] M. Kern, G. Pichot, and D. Zegarra Vasquez. Mathematical and numerical analysis of the mixed formulation of single phase flow in three dimensional fractured porous media. Preprint HAL. URL : https://inria.hal.science/hal-05029638 . 2025.
[2] M. Kern, G. Pichot, and D. Zegarra Vasquez. Performance of algebraic preconditioners for large-scale simulations of single-phase flow in three-dimensional fractured porous media. Preprint HAL. URL : https://inria.hal.science/hal-05029652 . 2025.
[3] P. Jolivet, M. Kern, F. Nataf, G. Pichot, and D. Zegarra Vasquez. Domain decomposition preconditioners for efficient parallel simulations of single-phase flow in three-dimensional fractured porous media with a very large number of fractures. Preprint HAL. URL : https://inria.hal.science/hal-05029676 . 2025.
