Jeudi 7 avril à 14h30, salle Danjon
David Sauzin (ASD)
Titre : A propos de la forme normale de Birkhoff,
travail en collaboration avec Thierry Paul (CMLS, Palaiseau)
Résumé :
Plusieurs problèmes de formes normales de systèmes dynamiques (dynamique classique ou quantique), parmi lesquels la recherche de la F.N. de Birkhoff pour un hamiltonien avec un point fixe elliptique, peuvent se formuler ainsi :
Dans une algèbre de Lie (p.ex. l’algèbre de Poisson des fonctions
hamiltoniennes), on se donne un élément X_0 (p.ex. X_0 = \sum \omega_i
(x_i^2+y_i^2)/2) et une famille de vecteurs propres (B_n) de ad(X_0) =
{ X_0, . } (p.ex. des hamiltoniens monomiaux en les x_i, y_i de degré au moins 3), et on cherche un élément Y tel que l’exponentielle de ad(Y) envoie X_0 + \sum B_n sur une “forme normale”, i.e. un élément Z qui commute avec X_0 (dans l’exemple des hamiltoniens, Z ne contient que des monômes résonants).
Le “calcul moulien” d’Écalle fournit une solution étonnamment explicite, sous forme de séries très multiples exprimant Y et Z en termes des crochets itérés { B_{n_1} , { B_{n_2}, …} }, avec des coefficients universels. Nous expliquerons ce formalisme et montrerons les formules auxquelles il mène.
