Alain Albouy – Théorème de Lambert et dynamique projective
Mardi 2 avril 2019, salle I du LJAD
Résumé. Paul Appell a remarqué en 1890 que les systèmes dynamiques définis par des champs de forces se projettent centralement les uns sur les autres, avec un changement de temps. Par exemple, le problème de Kepler se projette sur le problème de Kepler sphérique, découvert par Paul Serret en 1859. La propriété géométrique évidente qu’une conique du plan se projette centralement sur une conique sphérique s’étend ainsi en une correspondance entre orbites, qui appartient à la “dynamique projective”. Je vais rappeler les axiomes de ces transformations, et expliquer le résultat suivant : “Le théorème de Lambert vaut pour le problème de Kepler sur la sphère (ou la pseudo-sphère, de courbure constante négative).”
Le théorème de Lambert classique affirme que le temps requis pour arriver à un point B en partant d’un point A sur une orbite képlérienne d’énergie H, autour d’un centre O, ne change pas si on fixe H et qu’on déplace A et B de telle sorte que d(A,B), d(O,A)+d(O,B) soient les mêmes. La propriété passe à la sphère par projection centrale, alors même qu’aucune des trois quantités H, d(A,B) et d(O,A)+d(O,B) n’est respectée par la projection. (Voir : Lambert’s theorem and projective dynamics, preprint avec Zhao Lei, 14 pages, 2019.)
