Deux exposés d’Alain Chenciner (Paris) au LJAD – 8 et 9 octobre 2018

Les équations du problème des n corps d^2(ri)/dt^2 = sum_{j/=i}(mj (rj – ri) / ||rj – ri||^3) régissent les mouvements de n particules ponctuelles ri ∈ R^3 de masses respectives mi > 0 soumises à l’attraction newtonienne. Leur structure algébrique et celle de leurs symétries s’éclaire singulièrement si l’on oublie la contrainte de la dimension 3 de l’espace euclidien dans lequel se déroule le mouvement. J’illustrerai cette affirmation par l’exemple des configurations équilibrées qui, soumises à l’attraction newtonienne, admettent un mouvement d’équilibre relatif (mouvement rigide devenant un équilibre après quotient par la symétrie de rotation) dans un espace dont la dimension n’est pas imposée. Ces configurations généralisent les classiques configurations centrales découvertes par Euler et Lagrange au 18ème siècle. Nous verrons en particulier l’intime relation qui lie l’ensemble des moments cinétiques des équilibres relatifs d’une même configuration centrale ou équilibrée au classique problème de Horn qui consiste en la détermination de l’ensemble des spectres des matrices de la forme A+B, où A et B sont deux matrices hermitiennes (ou symétriques) dont les spectres sont fixés.

On sait bien que l’existence de coordonnées actions-angles est intimement liée à l’action de tore associée à un système intégrable. Nguyen Tien Zung renverse le point de vue en montrant que tout tenseur préservé par le système l’est aussi par cette action. D’où tout s’ensuit.