Robert Roussarie (Dijon) – Forme normale et transition
Séminaire de géométrie hamiltonienne, 10:30-12:30 salle 15-25.502 (Jussieu)
Résumé. L’existence de formes normales C∞ pour les champs de vecteurs, au voisinage de points partiellement hyperboliques, permet d’obtenir sans calculs excessifs la forme de la transition au voisinage de ces points. Par exemple, en utilisant une forme normale C∞, il est très facile d’établir que la transition au voisinage d’un point de selle hyperbolique de trace nulle, pour un champ de vecteurs C∞ de dimension 2, est de la forme suivante : x→x (1+xlnx·φ(x,xlnx) ),où φ est une fonction C∞. On peut établir des formules similaires pour les transitions au voisinage de points partiellement hyperboliques plus généraux.
J’illustrerai mon exposé à l’aide des familles particulières de champs de vecteurs que sont les systèmes lents-rapides en dimension 2. Les points singuliers obtenus dans la désingularisation d’un point de contact d’un tel système sont tous partiellement hyperboliques. En conséquence, la transition au voisinage d’un point de contact se présente comme composition de transitions au voisinage de points partiellement hyperboliques, points pour lesquels on a des formules de transition simples évoquées plus haut. On peut en déduire une formule simple pour la transition au voisinage de certains points de contact. Cette formule permet de calculer la borne supérieure du nombre de cycles limites bifurquant de certains cycles canard du système lent-rapide.
J’illustrerai mon exposé à l’aide des familles particulières de champs de vecteurs que sont les systèmes lents-rapides en dimension 2. Les points singuliers obtenus dans la désingularisation d’un point de contact d’un tel système sont tous partiellement hyperboliques. En conséquence, la transition au voisinage d’un point de contact se présente comme composition de transitions au voisinage de points partiellement hyperboliques, points pour lesquels on a des formules de transition simples évoquées plus haut. On peut en déduire une formule simple pour la transition au voisinage de certains points de contact. Cette formule permet de calculer la borne supérieure du nombre de cycles limites bifurquant de certains cycles canard du système lent-rapide.
