MOKAMEETING MARCH 29th INRIA PARIS 11:00 AM, SALLE Jacques-Louis Lions 2 BLD C
Irène Waldspurger (MIT)
Title: Inversion of the wavelet transform modulus
Abstract: The wavelet transform modulus, also called scalogram, is a widely-used representation of audio signals. To better understand its theoretical properties, we study the associated inverse problem: to what extent is it possible to reconstruct a function from its wavelet transform modulus? This problem belongs to the class of inverse problems known as “phase retrieval problems”.
In a first part, we will show that, at least for a specific choice of wavelets, any function is uniquely determined by its wavelet transform modulus. It is however possible that two functions have almost the same wavelet transform modulus without being close in L2 norm; we will give a relatively precise characterization of such pairs of functions. Finally, we will describe a numerical reconstruction algorithm. To conclude, we will see which implications these results have for the understanding of a deep representation: the scattering transform, introduced by Mallat.
Résumé: Le module de la transformée en ondelettes, aussi appelé scalogramme, est une représentation largement utilisée en traitement de signaux audio. Pour mieux en comprendre les propriétés théoriques, on étudie le problème inverse associé: dans quelle mesure est-il possible de reconstruire une fonction à partir du module de sa transformée en ondelettes ? Ce problème appartient à la catégorie de problèmes inverses qu’on appelle « problèmes de reconstruction de phase ».
Dans une première partie, nous montrerons qu’au moins pour une famille précise d’ondelettes, toute fonction est uniquement déterminée par son module de transformée en ondelettes. Il est cependant possible que deux fonctions aient presque les mêmes modules de transformée en ondelettes sans être proches en norme L2; nous donnerons une caractérisation assez précise des paires de fonctions vérifiant cette propriété. Enfin, nous décrirons un algorithme de reconstruction.
Pour conclure, nous verrons quelles sont les implications de ces résultats pour l’étude d’une représentation profonde : la transformée de scattering, due à Mallat.
