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Université Pierre et Marie Curie

Master M2 du Laboratoire de Probabilités de l’Université Paris 6

Étude des Grands Réseaux Stochastiques

Ce cours présente les méthodes de changement d’échelles de temps et d’espace pour des réseaux stochastiques utilisés en biologie ou pour les réseaux de communication. Le processus de Markov de saut (X(t)) dans R^d décrivant l’évolution temporelle du réseau est renormalisé en temps en espace comme (X(f(N)t)/g(N)) où N, Le paramètre de scaling peut être la norme de l’état initial (pour les limites fluides), l’intensité du trafic (pour les limites “heavy traffic”) ou encore le nombre de noeuds dans le réseau. Si les fonctions f et g sont convenablement choisies, l’évolution asymptotique du processus renormalisé (X(f(N)t)/g(N)) quand N temps vers l’infini permet l’étude qualitative de ces réseaux complexes. Ces méthodes se sont récemment considérablement développées, en dimension d>=2 notamment où les approches mathématiques effectives sont rares.

1. Introduction.
Rappels sur les martingales associées aux processus markoviens de sauts et les convergences en distribution de processus.
2. Limites Fluides et Réseaux de Files d’attente.
Marches aléatoires avec Réflexion. Problèmes de Skorokhod. Réseaux de Jackson.
3. Limites “Heavy Traffic” et Réseaux avec Perte.
Formules d’Erlang. Files d’attente à une infinité de serveurs. Convergence vers les solutions des équations de point fixe.
4. Stochastic Averaging: Étude d’exemples
Évolution des noeuds saturés de réseaux avec perte. Étude des mécanismes de duplication dans les grands systèmes distribués. Étude des phénomènes de polymérisation.