Master M2 du Laboratoire de Probabilités 2023-2024
Modèles Stochastiques de la Biologie Moléculaire
Ce cours présente plusieurs modèles mathématiques fondamentaux de la biologie moléculaire où les phénomènes aléatoires jouent un rôle-clé. Aucune notion de biologie n’est prérequise.
On s’intéressera tout d’abord à l’expression du gène, i.e. la production de protéines dans les cellules prokaryotes (comme les bactéries). En raison du milieu désordonné du cytoplasme de ces cellules, les expériences montrent une grande variabilité du nombre de protéines d’un type donné dans les cellules d’une même culture. Les modèles dans ce contexte ont pour objectif d’identifier les paramètres de la cellule qui permettent de contrôler la variabilité de la production de protéines.
La deuxième partie s’intéressera aux phénomènes de polymérisation dans un cadre biologique. Certaines protéines à l’intérieur de la cellule ont la propriété de pouvoir s’assembler en longues fibres appelées polymères. De nombreux processus biologiques utilisent ces mécanismes qui contribuent au bon fonctionnement des cellules, pour l’élaboration du cytosquelette notamment. Dans certains cas cependant ces phénomènes peuvent être pathologiques, dans les cellules nerveuses notamment. On observe dans les expériences in vitro que, au bout d’un temps très variable suivant les expériences, la concentration en polymères passe de la valeur nulle à une valeur élevée. Les modèles probabilistes utilisés ont pour objet de pouvoir expliquer la variabilité des phénomènes observés et d’étudier l’impact des différents paramètres sur la variance du temps de polymérisation.
1. Introduction.
Rappels sur les processus ponctuels de Poisson marqués, sur les martingales associées aux processus markoviens de sauts et les convergences en distribution de processus.
2. Expression du Gène.
Modèles markoviens et non-markoviens de la production de protéines.
Existence et caractérisation de la loi invariante de la concentration d’une protéine d’un type donné.
Étude de la variance à l’équilibre.
Compétition pour les ressources de la cellule dans la production de protéines.
3. Calcul Stochastiques avec les processus de Poisson.
Martingales associées aux processus de Poisson.
Intégrales stochastiques. Formule de changement de variable.
Équations différentielles stochastiques associées aux processus de Poisson.
Exemples: urne d’Ehrenfest. Modèles de coagulation/fragmentation. Processus de Branchement.
4. Modèles de la Polymérisation
Un modèle simplifié de la polymérisation avec deux espèces de polymères. Théorèmes central-limite fonctionnels.
Variations sur les renormalisations des taux de polymérisation.
Références
- David Anderson and Thomas Kurtz, Stochastic analysis of biochemical systems, Mathematical Biosciences Institute Lecture Series. Stochastics in Biological Systems, vol. 1, Springer.
- Marie Doumic, Sarah Eugène, and Philippe Robert, Asymptotics of stochastic protein assembly models, SIAM Journal on Applied Mathematics 76 (2016), no. 6, pp. 2333–2352.
- Vincent Fromion, Emanuele Leoncini, and Philippe Robert, Stochastic gene expression in cells: A point process approach, SIAM Journal on Applied Mathematics 73 (2013), no. 1, 195–211.
- T.G. Kurtz, Averaging for martingale problems and stochastic approximation, Lecture notes in Control and Information sciences, vol. 177, Springer Verlag, 1992, pp. 186–209.
- Nicolaas Godfried van Kampen, Stochastic processes in physics and chemistry, vol. 1, Elsevier, 1992.
- Philippe Robert, Mathematical models of gene expression, Probability Surveys 16 (2019), pp. 277–332.
