Stage M2: Plus courts chemins à courbure modérée et virages de navires

Proposition de stage M2 – Inria Sophia Antipolis

Plus courts chemins à courbure modérée et virages de navires

Un problème de contrôle optimal aujourd’hui classique (voir [3] et de nombreuses généralisations comme [2]) est la recherche de la courbe de longueur minimale parmi celles qui ont une courbure bornée par une valeur donnée et qui joignent deux points donnés avec des directions de tangentes données. Cela revient à résoudre un problème de temps minimum à (x, y, θ) initial et final fixés pour un système
(*)          dx/dt = cosθ,  dy/dt = sinθ,  dθ/dt = u,    |u| ≤ M.
Le temps t coïncide avec l’ascisse curviligne sur la courbe (x,y), et u est bien la courbure.

Ce problème est aussi celui d’un véhicule “unicycle” avec un contrôle u qui représente la vitesse de braquage, θ étant l’angle de l’axe du véhicule qui a une vitesse alignée avec cet axe (roulement sans glissement) et de module fixe normalisé à 1. Si on autorise le module de cette vitesse à varier, et si il y a une “dérive”, ou un “courant” (w1,w2), si bien que la vitesse produite l’est par rapport à un repère en translation, on a affaire à
(**)         dx/dt = v cosθ + w1,  dy/dt = v sinθ + w2 ,  dθ/dt = u,    |u| ≤ M,  1-ß ≤ v ≤ 1,
où le véhicule a deux contrôles: sa vitesse de braquage u et sa vitesse longitudinale v. On fixe ß petit, c’est-à-dire que le véhicule ne fait pas marche arrière. Ce problème est connu sous le nom de problème de Zermelo-Markov-Dubbins, voir par exemple [7]. On envisage ici de modéliser, en plus du véhicule, un attelage complexe sous la forme
(***)         dξ/dt = G(x, y, θ, ξ )
ξ est l’état de l’attelage, de dimension finie aussi petite que possible, ceci a été débuté dans [9,10].  Ce stage est proposé dans le cadre d’une relation contractuelle avec Sercel, équipementier français spécialisé dans l’acquisition marine. Le stagiaire accompagnera l’étude de faisabilité d’un processus d’optimisation de virages de navires remorquant des attelages complexes et soumis à l’influence des courants marins. Il s’agira d’une part de valider des modèles simple de type (***) et d’autre part de poursuivre ou d’appliquer les résultats de type [9,10].

Shortest paths with tame curvature and ships’ U-turns

A standard problem in optimal control [2, 3] is to seek for minimum length curves among those with bounded curvature that join two endpoints with given tangencies. This is also the so-called unicycle vehicle problem (*) with one control: the time-derivative of the steering angle (which is the curvature since the longitudinal speed is fixed to 1).  This is the simplest possible vehicle, see [1, 4, 5, 8] for generalizations, motion planning and complexity of such systems. One may also add a drift, or current (w1,w2),  and control the longitudinal speed as in (**), where  ß is taken small, forbidding going backwards.

This internship is proposed within a collaborative action with Sercel, a french company specialised in marine equipment; it aims at considering the same optimization problems for vehicles towing some sort of devices or trailers, modelled as in (***), where ξ stands for the state of the “trailers” (this was initiated in [9,10]) and to apply it to the optimization of large turns for ships towing some complex structure and subject to some current. Validating the model (***) will, of course, be of great importance.

Contacts : Jean-Baptiste.Caillau@inria.fr, Ludovic.Sacchelli@inria.fr, Jean-Baptiste.Pomet@inria.fr

References
  • [1]  A. Bellaïche, F. Jean, J.-J. Risler. Geometry of nonholonomic systems. In Robot motion planning and control, vol. 229 of Lect. Notes Control Inf. Sci., pp. 55–91. Springer, London, 1998. https://doi.org/10. 1007/BFb0036071.
  • [2]  Y. Chitour, M. Sigalotti. Dubins’ problem on surfaces. I. Nonnegative curvature. J. Geom. Anal., 15(4) :565– 587, 2005.
  • [3]  L. E. Dubins. On curves of minimal length with a constraint on average curvature, and with prescribed initial and terminal positions and tangents. Amer. J. of Math., 79 :497–516, 1957.
  • [4]  M. Fliess, J. Lévine, P. Martin, P. Rouchon. Flatness, motion planning and trailer systems. In 32th IEEE Conf. on Decision and Control, vol. 3, pp. 2700–2705. 1993.
  • [5]  F. Jean. The car with N trailers : characterisation of the singular configurations. ESAIM Control Optim. Calc. Var., 1 :241–266, 1996.
  • [7] E. Bakolas, P. Tsiotras. Optimal synthesis of the Zermelo-Markov-Dubins problem in a constant drift field. J. Optim. Theory Appl., 156(2):469–492, 2013.
  • [8]  D. Tilbury, J.-P. Laumond, R. M. Murray, S. S. Sastry, G. Walsh. Steering car-like systems with trailers using sinusoids. In IEEE Conf. on Robotics and Autom., pp. 1993–1998. Nice, France, 1992.
  • [9] J.-B. Caillau, S. Maslovskaya, T. Mensch, T. Moulinier, J.-B. Pomet. Zermelo-Markov-Dubins problem and extensions in marine navigation. In 58th IEEE Conf. on Decision and Control (CDC), 2019.
  • [10] L. Sacchelli, J.-B. Caillau, T. Combot, J.-B. Pomet. Zermelo-Markov-Dubins with two trailers. In 7th IFAC Workshop on Lagrangian & Hamiltonian Meth. for Nonlinear Control, Berlin, 2021.