Soutenance de thèse de Z. Chen – 14 septembre 2016, Univ. Paris Sud

Résumé. Une question importante en mécanique spatiale est de contrôler le mouvement d’un satellite soumis à la gravitation de corps célestes de telle sorte que certains indices de performance soient minimisés. Dans cette thèse, nous nous intéressons à la minimisation de la norme $L^1$ du contrôle pour le problème circulaire restreint des trois corps (ce coût modélise la consommation de l’engin spatial). Les conditions nécessaires à l’optimalité sont obtenues en utilisant le principe du maximum de Pontryagin, révélant l’existence de contrôles bang-bang et singuliers. En dimension finie, le problème de minimisation $\ell^1$ est bien connu pour générer des solutions où le contrôle a des propriétés de parcimonie ; les contrôles bang-bang traduisent cette même propriété, alors que l’existence de contrôles singuliers est une spécificité de la dimension infinie. En s’appuyant sur les résultats de Marchal et Zelikin, la présence du phénomène de Fuller est mise en évidence par l’analyse des extrémales singulières. La contrôlabilité pour le problème à deux corps (un cas dégénéré du problème circulaire restreint des trois corps) avec un contrôle prenant des valeurs dans une boule euclidienne est établie, puis facilement étendue au problème des trois corps, le champ de vecteurs correspondant à la dérive étant récurrent. En conséquence, si les trajectoires contrôlées admissibles restent dans un compact fixé, l’existence des solutions du problème de minimisation $L^1$ peut être obtenue par une combinaison du théorème de Filippov et une procédure appropriée de convexification. Les questions de contrôlabilité sous contraintes d’état sont également abordées. Bien que le principe du maximum de Pontryagin permette d’identifier les candidats à être solutions du problème de minimisation $L^1$, il ne peut garantir que ces candidats soient localement optimaux, sauf si certaines conditions d’optimalité suffisantes sont satisfaites. Dans cette thèse, l’idée cruciale pour obtenir de telles conditions pour des extrémales brisées est de plonger celles-ci dans un champ d’extrémales, en utilisant le point de vue d’Ekeland et Kupka (“compétition entre hamiltoniens”). En l’absence de singularité pli, deux types de conditions sont proposées. Dans le cas de points terminaux fixés, ces conditions sont suffisantes pour garantir que l’extrémale de référence est localement minimisante tant que chaque point de commutation est régulier. Si le point terminal n’est pas fixe mais appartient à une sous-variété lisse, une condition suffisante supplémentaire impliquant la géométrie de cette variété cible est établie. L’application au calcul d’extrémales voisines en minimisation $L^1$ est finalement considérée.

Mots-clés. contrôle optimal, extrémales brisées, conditions suffisantes, mécanique spatiale

$L^1$ minimisation in space mechanics

Abstract. An important question in space mechanics is to control the motion of a satellite in the gravitational field of celestial bodies, in order that prescribed performance indices are minimized. In this work, we are interested in minimizing the $L^1$ norm of the control for the circular restricted three-body problem. (This cost models the consumption of the spacecraft.) Necessary conditions for optimality are obtained thanks to Pontryagin maximum principle, revealing the existence of both bang and singular controls. In finite dimension, minimizing $\ell^1$ norms is well known to generate parsimonious solutions; bang controls account for this property whereas the existence of singular ones is a peculiarity of the infinite dimensional setting. Building upon Marchal and Zelikin results, the occurence of the Fuller phenomenon is related to singular extremals of order two. The controllability of the two-body problem (a degenerate subcase of the three-body problem) with a control valued in a Euclidean ball is established, then easily extended to the restricted three-body case by using the recurrence of the drift on a appropriate submanifold. As a result, provided that the trajectories remain into a fix compact subset, existence of solution for the $L^1$ minimization problem is obtained by combining Filippov’s theorem with a suitable convexification procedure. Controllabilty under specific state constraints is also addressed. Although the maximum principle allows to select candidates to be $L^1$ minimizers, it cannot guarantee that these candidates are locally optimal unless sufficient optimality conditions hold. In this work, the idea to obtain such conditions for broken extremals is to embed these into a field of extremals, using moreover Ekeland and Kupka point of view (“competing Hamiltonians”). In the absence of
fold singularity, two types of conditions are devised. In the case of fixed endpoints, these conditions are sufficient for local optimality whenever switching points are regular ones. When the terminal point lies on a whole submanifold, an additional condition involving the geometry of this target manifold has to be taken into account. These results are eventually applied to the computation of neighbouring extremals for $L^1$ minimization.

Keywords. optimal control, broken extremals, sufficient conditions, space mechanics