Séminaire de géométrie hamiltonienne (Paris 6) – Octobre 2016
Campus Jussieu, vendredi 10:30 (salle 15-25.502)
Organisateurs : M. Chaperon, M. Irigoyen, L. Lazzarini, J.-P. Marco, J.-B. Caillau
14/10/2016 – Frédéric Barbaresco (Thalès) – Théorie géométrique de la chaleur de Jean-Marie Souriau et structures élémentaires de l’information : géométrie Koszulienne de l’Information et métrique de Fisher-Souriau
L’exposé rappellera en préambule le cheminement historique de la notion de « fonction caractéristique » introduite en thermodynamique par François Massieu et développée par Williard Gibbs et Pierre Duhem sous la forme des potentiels thermodynamiques. Le travail de Massieu, que Henri Poincaré développa abondamment dans son cours de thermodynamique, eut une grande influence sur le mathématicien, qui introduisit la « fonction caractéristique » en probabilité (un logarithme lit les 2 notions en probabilité et en thermodynamique). Ces structures élémentaires réapparurent en Géométrie de l’Information dans les travaux de Maurice Fréchet et Calyampudi Radhakrishna Rao sous la forme de deux potentiels duaux reliés par l’équation de Clairaut-Legendre, le logarithme de la fonction de partition (fonction caractéristique) et l’Entropie de Boltzmann. Le hessien de chaque potentiel définit pour son système de coordonnées, une métrique Riemannienne pour les densités de probabilités. Dans le cas des densités à Maximum d’entropie (densité de Gibbs), la métrique Riemannienne associée au hessien du logarithme de la fonction de partition est égale à la matrice de Fisher. Les structures de ces géométries hessiennes ont été étudiées en parallèle par le mathématicien Jean-Louis Koszul et son thésard Jacques Vey dans le cadre plus général des cônes convexes saillants (formes de Koszul, fonction caractéristique de Koszul-Vinberg). Ces métriques furent introduites par Roger Balian en Physique quantique sous la forme de métrique de Fisher quantique en considérant le hessien de l’Entropie de von Neumann […]
**** REPORTÉ AU 18/11/2017 **** – Larry S. Siebenmann (Orsay). Arbres associés à chaque feuilletage orienté du plan.
L’étude topologique des feuilletages du plan R2 remonte à Poincaré, mais malgré des contributions importantes de W. Kaplan (1941) et Haefliger-Reeb (1957), elle reste un sujet épineux qui mérite d’être mieux compris. Je vais esquisser une nouvelle approche qui contient une refonte de celle de Kaplan, et qui utilise un système d’arbres réels et orientés, en conjonction avec la compactification de J. Mather (1982) de R2 par un 2-disque associé naturellement à chaque feuilletage. On obtient ainsi une vue d’ensemble des feuilletages possibles du plan. Je repère ainsi pour la première fois des feuilletages nulle part extensibles à travers le bord de leur 2-disque de Mather. On peut aussi obtenir par ces méthodes une classification combinatoire et autonome des 1-variétés topologiques non-Hausdorff qui sont à base dénombrable et simplement connexes. Il semble qu’aucune n’existe dans la littérature.
