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May 02

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Séminaire de géométrie hamiltonienne (Paris 6) – Mai 2017

Séminaire de géométrie hamiltonienne (Paris 6) – Mai 2017

Campus Jussieu, vendredi 10:30 (salle 15-25.502)

Organisateurs : M. Chaperon, M. Irigoyen, L. Lazzarini, J.-P. Marco, J.-B. Caillau

Vendredi 5 Mai. Marc Chaperon (Paris). Variétés invariantes et applications II

Il s’agit de montrer que la théorie des variétés invariantes ne nécessite aucun recours à l’analyse fonctionnelle et qu’elle contient de très nombreux résultats qui lui étaient en apparence étrangers, par exemple les théorèmes de Sternberg sur la (semi-)conjugaison différentiable locale entre systèmes dynamiques. Par rapport à mes exposés antérieurs au séminaire, les énoncés et leurs preuves se sont bien simplifiés et les questions de différentiabilité (en particulier non-entière) ont été précisées. L’approche choisie repose sur les applications génératrices, d’abord introduites par McGehee et Sander pour les variétés stable et instable en un point hyperbolique.

Vendredi 12 Mai. Jean-Pierre Marco (Paris). Un modèle simple pour une approche géométrique de la diffusion (I)

Ce premier exposé sera consacré à la description d’une classe de systèmes hamiltoniens de différentiabilité finie sur l’anneau A^3, perturbations de systèmes “sans diffusion” (mais pas nécessairement intégrables), pour laquelle il est possible de montrer par des méthodes géométriques l’occurrence générique d’orbites de difffusion. Il s’agit d’un travail en commun avec L. Lazzarini. La classe de systèmes étudiée permet de mettre en évidence l’essentiel de la méthode utilisée pour prouver l’existence de la diffusion d’Arnold dans les perturbations de systèmes convexes, le long de résonances simples et loin des résonances doubles.

Vendredi 19 Mai. Thierry Combot (Dijon). Intégrabilité des potentiels polynomiaux trigonométriques

Soit L un réseau sur Rn et un potentiel polynomial trigonométrique V avec des fréquences dans L. On construit des conditions d’intégrabilité rationnelle sur enveloppe convexe du support de \hat V. L’étude de l’intérieur de l’enveloppe convexe se ramène à une étude perturbative de 3 Hamiltoniens intégrables, mais possédant des intégrales premières de haut degré. On introduit une notion d’intégrabilité complète rationnelle, pour laquelle les tores de Liouville sont birationnellement équivalents à P^n et tel que les champs de vecteurs commutatifs deviennent linéaires. Nous résolvons ces systèmes en ce sens, et par analyse perturbative nous construisons des conditions d’intégrabilité supplémentaires. Le problème de trouver tous les potentiels intégrables se réduit à un problème combinatoire, correspondant aux partitions polygonales de la sphère avec des cotés de longueur fixées. Dans le cas V réel, on en déduit que V est séparable à rotation près. Dans le cas complexe, d’autres cas sont possibles, et on conjecture que les conditions d’intégrabilité trouvées sont en fait suffisantes et que de plus tous les potentiels obtenus sont complètement rationnellement intégrables.

 

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