Stage M2 – Courbes planes de longueur minimale à courbure modérée et applications

Proposition de stage M2 (2018) Inria Sophia Antipolis

Courbes planes de longueur minimale à courbure modérée et applications

Un problème de contrôle optimal aujourd’hui classique (voir [3] et de nombreuses généralisations comme [2]) est la recherche de la courbe de longueur minimale parmi celles qui ont une courbure bornée par une valeur donnée et qui joignent deux points donnés avec des directions de tangentes données. Cela revient à résoudre un problème de temps minimum à (x, y, θ) initial et final fixés pour un système

ou

x ̇ = cos θ, y ̇ = sin θ, θ ̇ = u, |u| ≤ M,
x ̇ = v cos θ, y ̇ = v sin θ, θ ̇ = u, |u| ≤ M, |v| ≤ 1

si l’on autorise les points de rebroussement [7]. Ce problème est aussi celui d’un véhicule “unicycle” avec deux contrôles : u représente la vitesse de braquage et v la vitesse longitudinale. (NB. Si v vaut ±1, le temps coincide avec l’abscisse curviligne et la vitesse de braquage est donc exactement la courbure de la courbe plane décrite par (x, y).) L’unicycle est le plus simple des modèles cinématiques de véhicule. Une “voiture” simplifiée serait un “unicycle avec une remorque”, etc… Voir [1, 4, 5, 8] pour la planification de trajectoire et la complexité d’approxi- mation pour ces systèmes. Le but de ce stage est de s’intéresser à un problème de contrôle optimal temps minimum pour ce genre de véhicules avec un attelage, mais avec une contrainte portant sur la “courbure” de l’attelage plutôt que sur celle de la trajectoire d’un point du véhicule. L’une des difficultés est que le problème de contrôle optimal comporte alors une contrainte sur l’état, et il est connu que ceci pose des difficultés techniques plus importantes qu’une contrainte sur le contrôle (voir par exemple [6]).

Ce stage est proposé dans le cadre d’une relation contractuelle avec CGG, industriel français spécialisé dans l’acquisition sismique marine. Le stagiaire accompagnera l’étude de faisabilité d’un processus d’optimisation de trajectoire de navire remorquant un large système dans l’eau, constitué de longs câbles et soumis à l’influence des courants marins. Des expérimentations numériques viendront compléter et rendre effective l’analyse mathéma- tique fine de la structure des trajectoires minimisantes. Contacter les responsables du stage pour plus de précisions sur le sujet et la collaboration industrielle, ainsi que la rémunération.

Contacts : Jean-Baptiste.Caillau@inria.fr, Laetitia.Giraldi@inria.fr, Jean-Baptiste.Pomet@inria.fr

Références

  1. [1]  A. Bellaïche, F. Jean, J.-J. Risler. Geometry of nonholonomic systems. In Robot motion planning and control, vol. 229 of Lect. Notes Control Inf. Sci., pp. 55–91. Springer, London, 1998. https://doi.org/10. 1007/BFb0036071.
  2. [2]  Y. Chitour, M. Sigalotti. Dubins’ problem on surfaces. I. Nonnegative curvature. J. Geom. Anal., 15(4) :565– 587, 2005.
  3. [3]  L. E. Dubins. On curves of minimal length with a constraint on average curvature, and with prescribed initial and terminal positions and tangents. Amer. J. of Math., 79 :497–516, 1957. http://www.jstor.org/stable/ 2372560.
  4. [4]  M. Fliess, J. Lévine, P. Martin, P. Rouchon. Flatness, motion planning and trailer systems. In 32th IEEE Conf. on Decision and Control, vol. 3, pp. 2700–2705. 1993.
  5. [5]  F. Jean. The car with N trailers : characterisation of the singular configurations. ESAIM Control Optim. Calc. Var., 1 :241–266, 1996. http://www.numdam.org/item/COCV_1996__1__241_0.
  6. [6]  H. Maurer. On optimal control problems with bounded state variables and control appearing linearly. SIAM J. Control Optimization, 15(3) :345–362, 1977. https://doi.org/10.1137/0315023.
  7. [7]  J. A. Reeds, L. A. Shepp. Optimal paths for a car that goes both forwards and backwards. Pacific J. Math., 145 :367–393, 1990. http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102645450.
  8. [8]  D. Tilbury, J.-P. Laumond, R. M. Murray, S. S. Sastry, G. Walsh. Steering car-like systems with trailers using sinusoids. In IEEE Conf. on Robotics and Autom., pp. 1993–1998. Nice, France, 1992.