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Title:The Regular Languages of First-Order Logic with One Alternation
Abstract: The regular languages with a neutral letter expressible in first-order logic with one alternation are characterized. Specifically, it is shown that if an arbitrary Σ2 formula defines a regular language with a neutral letter, then there is an equivalent Σ2 formula that only uses the order predicate. This shows that the so-called Central Conjecture of Straubing holds for Σ2 over languages with a neutral letter, the first progress on the Conjecture in more than 20 years. To show the characterization, lower bounds against polynomial-size depth-3 Boolean circuits with constant top fan-in are developed. The heart of the combinatorial argument resides in studying how positions within a language are determined from one another, a technique of independent interest.

Title:
Separator logic, expressive power and algorithmic applications
Abstract:
First-order logic (FO) can express many algorithmic problems on graphs,
but fails to express whether two vertices are connected. We define a
new logic (separator logic) by enriching FO with connectivity
predicates connk(x, y, z1, . . . , zk) that hold true in a graph if
there exists a path between x and y after deletion of z1, . . . , zk.
In this talk I will first present a study of the expressive power of
this new logic.
I will then present algorithmic results for this logic on graph classes
that exclude a topological minor.
These results were obtained in collaboration with Michał Pilipczuk,
Nicole Schirrmacher, Sebastian Siebertz, and Szymon Toruńczyk.

Title: Bornes inférieures superpolynomiales pour les circuits de profondeur constante

Abstract:
Tout polynôme multivarié P(X_1,...,X_n) peut être écrit comme une somme de
monômes, i.e., une somme de produits de variables et de constantes du corps.
La taille naturelle d'une telle expression est le nombre de monômes. Mais,
que se passe-t-il si on rajoute un nouveau niveau de complexité en
considérant les expressions de la forme : somme de produits de sommes (de
variables et de constantes) ? Maintenant, il devient moins clair comment
montrer qu'un polynôme donné n'a pas de petite expression. Dans cet exposé
nous résoudrons exactement ce problème. Plus précisément, nous prouvons que
certains polynômes explicites n'ont pas de représentations "somme de
produits de sommes'' (SPS) de taille polynomiale. Nous pouvons aussi obtenir
des résultats similaires pour les SPSP, SPSPS, etc... pour toutes les
expressions de profondeur constante.
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