On étudie une méthode de type GLV en dimension 4, basée sur des familles de Q-courbes avec un endomorphisme CM de petit degré. Par exemple, la courbe FourQ, proposée par Costello et Longa (Microsoft) et apportant 127 bits de sécurité, utilise cette méthode pour calculer efficacement [k]P. Afin d’étendre la proposition de Costello et Longa pour d’autres niveaux de sécurité, on développe des outils de recherche systématique de courbes et de construction des endomorphismes associés.

Nous obtenons une courbe apportant 254 bits de sécurité, possédant un endomorphisme agissant comme \sqrt{2} ainsi qu’un endomorphisme CM agissant comme \sqrt{-11} sur le groupe des points E(\mathbb{F}_{p^2}). On explicite et simplifie les expressions de ces endomorphismes. Le corps de définition de cette courbe possède une arithmétique efficace bien connue, qui permet d’accélérer à nouveau la multiplication scalaire.